Пятницкое шоссе, 55А
стоимость работ
Работаем с Пн-Вс круглосуточно
Настоящийстандарт устанавливает руководство по применению марковских методов анализа надежности
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованыссылки на следующие стандарты:
ГОСТ Р51901.14-2005 (МЭК 61078:1991) Менеджмент риска. Метод структурной схемынадежности
ГОСТР 51901.5-2005 (МЭК 60300-3-1:2003) Менеджмент риска. Руководство поприменению методов анализа надежности.
Примечание: При пользованиинастоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов винформационной системе общего пользования — на официальном сайте национальногооргана Российской Федерации по стандартизации в сети Интернет или по ежегодноиздаваемому информационному указателю «Национальные стандарты», которыйопубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующимежемесячно издаваемым информационным указателям, опубликованным в текущем году.Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящимстандартом следует руководствоваться замененным (измененным) документом. Еслиссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка нанего, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.
3 Термины и определения
В настоящем стандартеиспользованы следующие термины и определения:
3.1 элемент(unit):Компонент или набор компонентов, которые функционируют как самостоятельныйобъект.
Примечание: Элемент может существовать только в двух состояниях:работоспособном или неработоспособном (см. 3.3 и 3.4). Для удобства обозначениясостояния элемента в настоящем стандарте используется термин «состояниеэлемента».
3.2 состояние системы (system state): Специфическая комбинация состоянийэлементов.
Примечание: Несколькосостояний системы могут быть объединены в одно состояние.
3.3работоспособное состояние (functional state): Состояние системы (элемента), вкотором система (элемент) исполняет требуемую функцию.
3.4неработоспособное состояние (failed state): Состояние системы (элемента), вкотором система (элемент) не исполняет требуемую функцию.
Примечание: Системаможет иметь несколько различных неработоспособных состояний.
3.5переход (transition): Изменение одного состояния системы(элемента) на другое, обычно происходящее в результате ее (его) отказа иливосстановления.
Примечание: Переход может быть также вызван другими событиями, такимикак человеческие ошибки, внешние события, реконфигурации программногообеспечения и т.д.
3.6вероятность перехода (transition probability): Вероятность перехода системы(элемента) из одного состояния в другое.
3.7начальное состояние (initial state): Состояние системы в начальный моментвремени t = 0.
Примечание: После отказа система может быть восстановлена до начальногосостояния. Обычно система начинает функционировать в момент времени t = 0 изработоспособного состояния, в котором все элементы системы функционируют, ипереходит в неработоспособное состояние через другие функциональные состояния,имеющие меньшее количество функционирующих элементов.
3.8 состояние поглощения (absorbing state): Состояние, из которого переходыневозможны.
Примечание: В состоянии поглощения система будет оставаться до тех пор,пока не будет полностью заменена функционирующей системой.
3.9 восстанавливаемая система (restorable system): Система, содержащая элементы,которые могут быть восстановлены после отказа до работоспособного состояния безобязательного появления отказа всей системы.
Примечания
1. Восстановление связано с переходамив диаграмме состояний и переходов в направлении к начальному состоянию. Приэтом, чтобы система функционировала, соответствующие элементы должны бытьзарезервированы.
2. Для восстанавливаемойсистемы можно вычислить такие показатели надежности как вероятность безотказнойработы, среднюю наработку до первого отказа и коэффициент готовности.
3.10 невосстанавливаемая система (non-restorable system): Система, диаграмма состояний ипереходов которой содержит только переходы в направлении к состоянию отказасистемы.
Примечание: Для невосстанавливаемой системы могут быть определены такиепоказатели надежности как вероятность безотказной работы и средняя наработка допервого отказа.
4 Обозначения и сокращения
4.1Обозначения для диаграммы состояний и переходов
4.1.1 символсостояния (state symbol): Состояние изображается в виде круга илипрямоугольника.
4.1.2 Установкасостояния (state description): Установка состояния, помещенное внутрисимвола состояния и изображенное в виде слов или алфавитно-цифровых символов,определяющих те комбинации отказавших и функционирующих элементов, которыехарактеризуют это состояние.
4.1.3 знаксостояния (state label): Число в круге, расположенное рядом с символомсостояния или, при отсутствии этого символа, без него.
Примечание: Состояние часто изображается в виде круга с числом,обозначающим состояние.
4.1.4 стрелкаперехода (transition arrow): Стрелка перехода, указывающая направлениеперехода (в результате отказа или восстановления).
4.1.5 интенсивности(rates): Интенсивности восстановления и/или интенсивности отказов, указанные настрелке перехода.
4.2 Другие символы и сокращения
В настоящем стандартеиспользуются следующие символы и сокращения: R(f) — вероятность безотказной работы.
Примечание: Длявероятности безотказной работы также используется более общий символ R(tbt2);
MTTF — средняя наработка до отказа;
MTTFF — средняя наработка до первого отказа;
MTBF — средняя наработка на отказ;
MTTR — среднее время восстановления;
λ(t) — интенсивность отказов;
μ(t) — интенсивность восстановлений.
Примечание: СимволM(t) используется также для обозначения интенсивности ремонта;
A(t) — коэффициент готовности в моментвремени t;
А(∞) -асимптотический коэффициент готовности.
Примечание: СимволА используется для обозначения асимптотического коэффициентаготовности;
MUT — средняя продолжительностьработоспособного состояния;
MDT — среднее время простоя;
Pi(t) — вероятность обнаружения системы всостоянии в момент времени t;
Δt — малый интервал времени.
4.3 Пример
На рисунке 1изображен пример диаграммы состояний и переходов для системы с одним элементом.
0 -работоспособное состояние системы; 1 -неработоспособное состояние (отказ) системы; λ(f)Δ(t) — вероятностьперехода между состояниями 0 и 1 в интервале времени Δt.
Рисунок 1 — Диаграмма состояний и переходовневосстанавливаемой системы с одним элементом
Обычно выражение λ(t)Δt заменяется на λ, посколькув настоящем стандарте λ(t) является постоянной во временивеличиной (раздел 6). На стрелкахперехода чаще указывают интенсивности перехода, чем вероятности перехода.Следовательно, диаграмму, представленную на рисунке 1, можно изобразить вупрощенном виде (рисунок 2).
Рисунок 2 — Диаграмма состояний и переходов дляневосстанавливаемой системы с одним элементом
5 Общие положения
При примененииметодов марковского анализа используют диаграмму состояний и переходов, котораяявляется графическим представлением функционирования системы и Монтаж отопленияруетаспекты надежности поведения системы во времени. В настоящем стандарте системарассматривается как набор элементов, каждый из которых может существоватьтолько в одном из двух состояний: неработоспособном или работоспособном.Система в целом, однако, может существовать в различных состояниях, каждое изкоторых определяется специфической комбинацией работоспособного инеработоспособного состояний ее элементов. Таким образом, в момент отказа или восстановленияэлемента система переходит из одного состояния в следующее. Обычно эту модельназывают моделью дискретных состояний с непрерывным временем. В соответствии сэтим способом представления изменения состояний системы применяют методологиюанализа пространства состояний.
Анализ пространствасостояний применяют при исследовании надежности систем с резервированием илисистем, отказ которых зависит от последовательных событий, или систем сосложными стратегиями технического обслуживания (приоритетное восстановление,проблемы организации очереди, ограниченный ресурс). Используемая для анализанадежности системы модель дискретных состояний должна отражать функционированиесистемы в отношении стратегий и политики технического обслуживания.
Главным преимуществомприменения методов марковского анализа с учетом ограничений, описанных вразделе 6, является то, что стратегии технического обслуживания, например,приоритеты восстановления, можно легко сМонтаж отопленияровать. Кроме того, в Монтаж отопленияможно отразить порядок, в котором происходят многократные отказы. Необходимоотметить, что другие методы анализа надежности, например анализ дереванеисправностей и метод структурной схемы надежности, не позволяют учестьсложные стратегии технического обслуживания.
Хотяанализ пространства состояний с теоретической точки зрения является гибким иуниверсальным, при решении трудных практических задач необходимы специальныемеры предосторожности.
Главнаяпроблема заключается в том, что количество состояний системы и возможныхпереходов быстро возрастает с ростом количества элементов в системе. В случаебольшого количества состояний и переходов велика вероятность ошибок иискажений. Чтобы уменьшить это явление, желательно использовать некоторыеправила составления диаграммы. Кроме того, используемые расчетные методы могутбыть достаточно сложны и могут требовать применения специальных компьютерныхпрограмм и/или помощи экспертов в области прикладной математики.
Кроме того, что методымарковского анализа подходят для Монтаж отоплениярования стратегий техническогообслуживания, они также дают возможность графически отображать процессотказов/восстановлений, который представляют в виде переходов от одного символасостояния к другому, вместе составляющих диаграмму состояний и переходовсистемы. Сумма всех вероятностей состояний равна единице. В любой моментвремени системе соответствует только одно состояние в диаграмме состояний ипереходов. Если по практическим причинам состояния с низкой вероятностьюопущены, выполнение вышеупомянутого условия будет только приближенным.
Описанные методыМонтаж отоплениярования могут также применяться к системам, в которых некоторые или всеэлементы являются невосстанавливаемыми. Очевидно, что система с невосстанавливаемымиэлементами может рассматриваться как специальный случай системы свосстанавливаемыми элементами, у которых время восстановления будетбесконечным.
6Предположения
Правила разработкидиаграммы состояний и переходов, установленные в настоящем стандарте, применимыво всех случаях. Однако Установка расчетных методов приводится только дляслучая, когда интенсивности отказов и восстановлений для всех элементовисследуемой системы постоянны во времени. Предположение о постоянствеинтенсивности отказов приемлемо для компонентов многих систем, но предположениео постоянной интенсивности восстановлений должно быть проверено, если среднеевремя восстановления элементов не является незначительным по сравнению ссоответствующим средним временем наработки на отказ. Числовые оценки в общемслучае, когда интенсивности отказов или интенсивности восстановлений непостоянны во времени, в настоящем стандарте не рассматриваются.
Из сделанныхпредположений следует, что будущее состояние системы зависит только отсуществующего состояния системы, а не от того, как система оказалась в этомсостоянии. Необходимо гарантировать, что диаграмма состояний и переходовобладает указанным свойством, даже если для реальной системы это не так (7.3.2).
Предположения,связанные с вероятностью перехода, можно сформулировать следующим образом:
— переходы состоянийявляются статистически независимыми событиями;
— интенсивностьотказов λ и интенсивность восстановлений μпостоянны;
— вероятностиперехода из одного состояния в другое в интервале времени Δt (Δt — мало) задаются величинами λΔtи/или μΔt.
7 Построение диаграммы состояний и переходов
7.1 Предостережения
Основная задачамарковского анализа — разработка диаграммы состояний и переходов. Основныеправила разработки диаграммы приведены в 7.2. Они должны быть установлены доначала проведения анализа. Это обеспечивает необходимую идентификацию отдельныхсостояний и, таким образом, позволяет создать четкие графические Монтаж отопления.
7.2 Правила
Рекомендуетсяиспользовать следующие правила построения диаграмм:
a) Каждое состояниесистемы должно быть изображено в виде символа (круг или прямоугольник) сидентификатором состояния (символ или число), который позволяет аналитическойпроцедуре однозначно распознавать это состояние.
b) При необходимостисимвол может включать Установка состояния системы или словесное, или в видесимволов в соответствии с принятыми обозначениями. Если используется словесноеУстановка, идентификатор состояния должен располагаться в круге или маленькомпрямоугольнике рядом с символом состояния.
c) Состояния должныразмещаться так, чтобы крайнее левое состояние было полным работоспособнымсостоянием системы, а крайнее правое — состоянием отказа системы.Соответственно промежуточные состояния должны быть расположены так, чтобыпереход слева направо являлся результатом отказа, а переход справа налево -результатом ремонта или восстановления. Необходимо стремиться к тому, чтобыколичество пересечений линий перехода было минимальным.
d)Состояния системы, соответствующие одинаковому количеству отказавших элементов,должны располагаться друг под другом.
e)Переходы между состояниями системы должны быть отмечены линиями со стрелками,соединяющими состояния. Линия со стрелкой справа представляет отказ, а линия сострелкой слева — восстановление. Если переход между двумя состояниями можетбыть достигнут путем отказа или восстановления, то такой переход долженизображаться одной линией со стрелками на обоих концах. В простой диаграммесостояний и переходов отдельные линии перехода могут использоваться дляиндикации отказа или восстановления.
f)На линиях переходов должны быть указаны соответствующие интенсивностипереходов. Их можно указать непосредственно на линиях или в отдельном списке.
g)Линии перехода, связанные с невосстанавливаемыми элементами, могут иметь толькоодну стрелку, которая представляет переход к отказу. Системы, у которых всеэлементы являются восстанавливаемыми и не имеют ограничений для техническогообслуживания с немедленным восстановлением после отказа, должны изображаться надиаграмме со стрелками от и к каждому элементу. Частично восстанавливаемыесистемы, содержащие как восстанавливаемые, так и не восстанавливаемые элементы,или системы с приоритетами восстановления, должны изображаться с помощью линийперехода, некоторые из которых имеют две стрелки, а другие — только одну. Чтобыулучшить читаемость диаграммы, две стрелки между состояниями должныобъединяться в одну там, где это возможно.
h) По возможности, каждыйпереход должен связывать только соседние состояния. Если отказ вызывает переходсистемы в другое (не соседнее) состояние, переход изображают в виде дуги.
7.3 Примеры
7.3.1 Система с одним элементом
Применение метода марковскогоанализа начинают с определения состояния системы. В качестве примера рассмотримсистему с одним элементом. В самом простом случае соответствующая диаграммасостояний и переходов включает только два состояния: работоспособное состояниес интенсивностью отказов λ и неработоспособное состояние синтенсивностью восстановлений μ (рисунок 3).
0-работоспособное состояние системы; 1-неработоспособное состояниесистемы.
Рисунок3 — Диаграмма состояний и переходов для восстанавливаемой системы с одним элементом
Стрелка от состояния 0 к состоянию 1 обозначает появление отказа с вероятностью λΔ(t) в течение времени Δt, стрелкаот состояния 1 к состоянию 0 — завершение восстановления системыс вероятностью μΔt в течение времени Δt.
Систему с одним элементомможно изобразить, используя больше чем два состояния (работоспособное инеработоспособное). Ухудшенное состояние, в котором система все еще являетсяработоспособной, также может быть включено в диаграмму (рисунок 4).
0 — состояние полного функционирования системы; 1 — ухудшенное состояние системы; 2 -неработоспособное состояние системы (состояние поглощения) системы.
Рисунок 4 — Диаграмма состояний и переходов для системы содним элементом с использованием трех состояний
Если восстановлениеможет быть выполнено из состояния 2, система может быть описана диаграммой,изображенной на рисунке 5, на котором интенсивность восстановлений μ2 представляет переход из состояния 2 всостояние 1.
0 — состояние полного функционирования системы; 1 — ухудшенное состояние системы; 2 -неработоспособное состояние системы (состояние поглощения).
Рисунок 5 — Диаграмма состояний и переходов для системы,изображенной на рисунке 4, когда восстановление системы может быть выполнено изсостояния 2.
Во многих случаяхдолжен рассматриваться прямой путь системы к отказу из состояния 0 к состоянию 2. В этих случаяхдобавляют стрелку λ3 (рисунок 6).
0 — работоспособное состояние системы; 1 — состояние поглощения; 2 -неработоспособное состояние системы (состояние поглощения).
Рисунок 6 — Диаграмма состояний и переходов для системы,изображенной на рисунке 4, когда возможен прямой путь отказа из состояния 0 всостояние 2
Диаграмма,изображенная на рисунке 3, может использоваться для определения коэффициента готовностиA(t) в момент времени t и асимптотического коэффициентаготовности А(∞). Для оценки вероятности безотказностиработы R(t) применима диаграмма состояний ипереходов, изображенная на рисунке 7, в которой состояние 1 является состоянием поглощения.
0 — работоспособное состояние системы; 1 — состояние поглощения
Рисунок 7 — Диаграмма состояний и переходов для оценкивероятности безотказной работы системы с одним элементом
7.3.2 Системас двумя элементами
Поскольку элемент можетбыть представлен двумя состояниями: 0 (работоспособное) и 1 (неработоспособное), возможнычетыре состояния системы с двумя элементами (0 0), (0 1), (1 0), (1 1). Если система с двумя элементами являетсяпоследовательной системой, то символ (0 0) обозначает ее единственноеработоспособное состояние, а (0 1), (10), (1 1) — неработоспособные состояния. Если в системе с двумяэлементами используется нагруженный или ненагруженный резерв, то состояния (00), (0 1), (1 0) являютсяработоспособными состояниями. Далее будет рассматриваться система с двумяэлементами в нагруженном резерве.
Диаграмма состояний ипереходов системы (последовательной или параллельной) с двумяневосстанавливаемыми элементами изображена на рисунке 8.
Рисунок 8 — Диаграмма состояний и переходов для системы сдвумя невосстанавливаемыми элементами
Примечание: Символысостояний могут иметь вид: (0 0), (0 1),(1 0), (1 1)
Диаграмма состояний и переходов системыс двумя восстанавливаемыми элементами изображена на рисунке 9. Дополнительныестрелки указывают на восстановление с интенсивностями μi(i = 1,2).
Рисунок 9 — Диаграмма состояний и переходов для системы сдвумя восстанавливаемыми элементами
Общая причина отказаможет быть изображена в виде прямой перехода от состояния 0 к состоянию 3 с интенсивностью λ3. (рисунок10).
Рисунок 10 — Диаграмма состояний и переходов для системы собщей причиной отказа.
Если отказ с общей причиной отключаетодновременно два элемента в восстанавливаемой системе отказ с, возможно, чтовремя, необходимое для восстановления системы после этого отказа (возвращениеиз состояния 3 в состояние 0), значимо отличается от времени, необходимого длявосстановления системы после отказа отдельных элементов. Таким образом, послетого как система достигла неработоспособного состояния, будущие действия (типвосстановления) зависят от того, как система оказалась в этом состоянии, чтонарушает предположения Монтаж отопления. Для восстановления этого свойства Монтаж отоплениянеобходимо, чтобы действия по восстановлению системы были отражены в диаграммев соответствии с рисунком 11.
3А, 3В — неработоспособные состояния системы
Рисунок 11 — Диаграмма состояний и переходов длясистемы с общей причиной отказа
В качестве примера рассмотрим систему сдвумя резервными генераторами, которые не включаются при низкой температуре.Когда система достигает состояния «оба генератора не включились», времявосстановления будет зависеть от того, находится ли каждый генератор внеработоспособном состоянии из-за механического отказа или оба генератора вышлииз строя вследствие общей причины, например из-за воздействия низкойтемпературы. Поэтому необходимо рассмотреть состояние «оба генератора невключились по причине независимых неисправностей» отдельно от состояния «обагенератора не включились вследствие общей причины». Однако для пользователясистемы может быть важно только то, что «оба генератора отказали», а не причиныэтих отказов. Поэтому необходимо отразить на диаграмме также состояние «обагенератора отказали», показатель надежности которого зависит от показателейнадежности формирующих его состояний (например, является суммой вероятностейсостояний).
В диаграммах состояний и переходовсистемы могут быть учтены стратегии технического обслуживания. Предположим, чтосуществует только одна группа ремонтных рабочих и что стратегия техническогообслуживания является такой, что приоритет ремонта всегда отдается компоненту,который отказал раньше. В этом случае должен учитываться порядок появленияотказов. Такая диаграмма состояний изображена на рисунке 12.
3 — два компонента отказали, первым отказал компонент 1; 4 — два компонента отказали,первым отказал компонент 2.
Рисунок 12 — Диаграмма состояний и переходов при наличиитолько одной группы ремонта
8 Оценки на основе диаграммы состояний и переходов
8.1 Общие положения
По диаграммесостояний и переходов может быть проведена оценка показателей надежностиисследуемой системы с помощью математических методов. При этом определениетаких величин как R(t) и A(t) требует значительно большего количества вычислений, чемопределение установившихся величин, например таких, как MTTF, MDT, MUT и A(∞).
Оценку начинают сопределения вероятностей обнаружения системы в конкретных состояниях. Вероятности,соответствующие отдельным состояниям, могут быть получены на основе матрицыпереходов или путем решения дифференциальных уравнений в соответствии сприложением А.
Другие показателинадежности оценивают на основе этих вероятностей.
8.2 Оценка показателей надежности
Диаграмма состояний ипереходов, используемая для оценки вероятности безотказной работы R(t), содержит, по крайней мере, односостояние поглощения. Вероятность того, что система находится в данномсостоянии в момент времени t, определяют при помощи специальныхматематических методов. Когда t стремится к бесконечности, вероятность, соответствующаякаждому работоспособному состоянию, приближается к нулю, а вероятностьсостояний поглощения стремится к единице.
Распространеннымпоказателем надежности является MTTFF. При оценке по диаграмме состояний ипереходов MTTFF — среднее время пребывания системы вработоспособном состоянии до перехода в состояние поглощения.
8.3 Оценка показателей эффективности иремонтопригодности
Диаграмма состояний ипереходов, используемая для оценки коэффициентов готовности системы A(t) или А(∞), не содержит состояний поглощения.
Вероятность того, чтосистема находится в данном состоянии в момент времени t, определяется методами, приведенными в приложении А.При t, стремящемся к бесконечности,вероятность, соответствующая каждому состоянию, стремится к постояннойвеличине. Коэффициент готовности системы также стремится к постоянной величине А(∞), так как он равен сумме вероятностейработоспособных состояний.
Кроме того, можнооценить две другие Монтаж :
— среднее времяпребывания системы в состоянии, которое является эквивалентом суммыинтенсивностей перехода из этого состояния;
— частоту появлениясостояния, которая равна сумме Рu λu + Pvλv + … где Рu и λu обозначают вероятность и интенсивностьотказов, соответствующие состояниям u, v и т.д.
Примечание: Каждое слагаемое вида Рu λu соответствуетпереходу системы в смежное состояние, поэтому для определения частоты входа всостояние необходимо суммировать все такие слагаемые (см. раздел 9, пример).
Кроме того, на основевероятностей состояний можно определить среднюю продолжительностьработоспособного состояния системы (MUT) исреднее время простоя системы (MDT). MUT- фактическое среднее время пребыванияв работоспособном состоянии, MDT- среднее время пребывания внеработоспособном состоянии. Также можно определить частоту появлениянеработоспособных состояний. Обычно это эквивалент интенсивности отказовсистемы (см. раздел 9, пример).
9 Упрощения и приближения
Во многих ситуацияхсреднее время восстановления элемента MTTR достаточно мало по сравнению с его MTTR, т.е.μ>> λ для всех элементов системы.Приближенное значение асимптотической вероятности Рi(∞)обнаружения системы в i-м состоянии, когда t стремитсяк бесконечности, можно легко определить. Метод основан на том, что еслисостояние «х» имеет один илибольшее количество переходов в неработоспособное состояние, искомая вероятностьзадается суммой Рu{∞),λu +Pv(∞)λv + … , где Pv(∞),λv и другие члены суммы описаны в 8.3. Интенсивность переходовиз этого состояния в состояние «х» обозначенаΣμx. Тогда приближенная формула для Рx(∞) будетиметь следующий вид
где Рх(∞),Рu(∞) и Pv(∞) — асимптотические вероятностисостояний.
Если эту процедуруповторить для каждого состояния, получим систему уравнений для вероятностейотдельных состояний. Необходимо отметить, что если для некоторых состоянийсистемы переходы в состояние ремонта отсутствуют, то описанный приближенныйметод не применим.
Описанный методпозволяет получить приближенное значение MTTFF системы.Для этого вычисляют все вероятности работоспособных состояний системы, которыезатем используют для вычисления интенсивности отказов системы.
Пример — Рассмотримдиаграмму состояний и переходов, изображенную на рисунке 9. (Далее знак «∞» опущен). Все вероятности состоянийявляются постоянными. Величины Р1 и Р2 задаютсяуравнениями:
P1=λ1P0/μ1
Р2 = λ2P0/μ2
Таким образом,интенсивность отказов системы λs является частотой перехода системы в состояние отказа изадается соотношением
λS ≈ λ2P1 + λ1P2,
Таким образом, для μ >> λ, Ро≈ 1
λs ≈ [λ2λ1/μ1 + λ1λ2/μ2]P0,
т.е. λs ≈ λ2 λ1/μ1 + λ1, λ2/μ2, так как μ>>λ и Р0 = 1.
Это выражение являетсяизвестным. Его часто записывают в виде
λs≈λ1λ2[τ1 +τ2] ,
где τ -среднее время восстановления; τ1 ≈ 1/μ1, и τ2 ≈ 1/ μ2
10 Сокращенная диаграмма состояний и переходов
Рисунок 13 — Структурная схема надежности параллельнойсистемы 2/4
h, i, j — работоспособноесостояние системы; к — неработоспособное состояниесистемы.
Рисунок 14 — Сокращенная диаграмма состояний и переходов длясистемы, изображенной на рисунке 13
Для упрощениявычислений диаграмма состояний и переходов должна включать как можно меньшееколичество состояний. Если элементы зарезервированы и соединены параллельно, товсе они имеют одинаковую интенсивность отказов λ и одинаковую интенсивностьвосстановлений μ, как показано на рисунке 13, и, еслипредполагается, что ремонтников столько, сколько необходимо, то диаграммасостояний и переходов может быть изображена в упрощенном виде, как показано нарисунке 14.
Решение системылинейных дифференциальных уравнений, соответствующих диаграмме, (см. приложениеА),дает следующее выражение для определения средней наработки до первого отказа MTTFF:
Таким образом можетбыть получено точное выражение для определения MTTFF системы.Это выражение показывает способы получения формулы для сокращенных цепочеклюбой длины. Например для диаграммы, изображенной на рисунке 15,
h, i, j, k — работоспособное состояние системы; 1 — неработоспособное состояние системы.
Рисунок 15 — Сокращенная диаграмма состояний и переходовдля параллельной системы (четыре элемента)
11 Выражения для некоторых показателей надежности системы
Формулы для определенияпоказателей надежности невосстанавливаемых систем приведены в таблице В.1приложения В, аформулы для восстанавливаемых систем — в таблице В.2.
12 Представление результатов
Представлениерезультатов должно включать, по меньшей мере, следующие элементы:
a)спецификацию показателей надежности (например, вероятность безотказностиработы, коэффициент готовности, MTTF);
b)основные используемые предположения (например, постоянство интенсивностиотказов и восстановлений);
c)определение выбранного метода;
d)Установкадиаграммы состояний и переходов, включая исследование следующих аспектов:
— отдельные описанияработоспособных состояний и состояний отказа,
— по возможности,причины, по которым некоторые состояния сгруппированы, а другие не указаны,
— отдельное Установкапереходов между состояниями,
— выбор числовыхзначений для интенсивностей перехода,
— построенный путьдиаграммы, включая любые предположения;
e)Установка вычислений :
— методы,
— компьютерныепрограммы (при их использовании);
f)числовые результаты:
— результаты вчисловом виде и других формах,
— влияниепредположений, используемых для построения диаграммы состояний и переходов илидля вычислений;
— анализчувствительности.
ПриложениеА
(справочное)Оценка некоторых показателей надежности системы, состоящей издвух элементов в нагруженном резерве
А.1 Цель
В качестве примера для определенияоценки показателей надежности рассматривается система, состоящая из двухэлементов, соединенных параллельно. Оцениваемые показатели — асимптотическийкоэффициент готовности, мгновенный коэффициент готовности, вероятностьбезотказной работы и MTTFF.
А.2 Монтаж отоплениярование
Диаграмма состояний и переходов системыизображена на рисунке А.1.
Рисунок А.1 — Диаграмма состояний ипереходов для системы с двумя элементами
Диаграмму состояний и переходов дляоценки вероятности безотказной работы R(t) получают из этой диаграммы путем устранения переходоввосстановления от состояния 3 к состояниям 1 и 2. Состояние 3, таким образом, становится состояниемпоглощения.
Предположим, что оба элемента в системеидентичны или имеют одинаковые интенсивности отказов/восстановлений.Сокращенная диаграмма изображена на рисунке А.2.
.
Рисунок А.2 — Диаграммасостояний и переходов для параллельной системы, состоящей из двух идентичныхэлементов
Диаграмму состояний и переходов дляоценки вероятности безотказной работы R(t) получают из этой диаграммы путем устранения переходавосстановлений от состояния 2 к состоянию 1. Состояние 2, таким образом, становится состоянием поглощения.
А.3 Метод дифференциальных уравнений
А.3.1 Метод для коэффициента готовности
Пусть P0(t), P1(t), P2(t) — вероятности пребывания системы всостояниях 0, 1 и 2, соответственнов момент времени t Следующие дифференциальные уравненияполучены для диаграммы, изображенной на рисунке А.2:
При решении этой системы дифференциальныхуравнений для вероятностей P0(t), P1(t), P2(t) предполагается, что в момент времени t = 0 система находится в состоянии 0, т.е:
Р0(0)= 1;
Р1(0) = 0.
Р2(0) = 0
В этом случае коэффициент готовности A(t) вычисляют по формуле:
A(t) = P0(t)+P1(t).
С помощью преобразования Лапласа можнополучить это выражение через λ и μ
Из этого выражения вытекает выражениедля определения асимптотического коэффициента готовности A(∞). Это выражение можно рассчитать иначе, если учесть, что вмомент времени t = ∞справедливы следующие равенства:
0 = 2λ Р0(∞) +μР1(∞);
0 = 2λ Р0(∞) -(λ + μ)Р1|(∞) +2μP2(∞);
0 = λ Р1(∞) -2μР2(∞);
Эти уравнения зависимы, так как любоеуравнение может быть получено из двух других. В качестве третьего уравненияиспользуют соотношение
Р0(∞) + Р1(∞)+Р2(∞) = 1.
В результате некоторых математическихпреобразований получаем формулу:
A(∞) =
А.3.2 Метод для вероятности безотказной работы
Для оценки вероятности безотказнойработы и MTTFF системы, представленной на рисункеА.2, можно вывести следующие дифференциальные уравнения, предполагая, чтосостояние 2 является состоянием поглощения (переход восстановления из состояния2 к состоянию 1 удален):
(A.1)
Вероятности P(t), P1(t), P2(t) можно определить из системыдифференциальных уравнений (см. А.1),учитывая, что в момент времени t = 0 система находится в состоянии 0:
Р0(0)= 1;
Р1(0) = 0.
Р2(0) = 0
Таким образом, для вероятностибезотказности работы RS справедливо уравнение
RS(t)= P0(t) + P1(t)
При помощи преобразования Лапласа можнополучить выражение для RS через λ и μ
где для s1 ,s2 справедливы соотношения:
s1s2 =2λ2;
s1 + s2 = (μ + 3λ).
Выражение для MTTFF системывыводят либо из выражения для определения Rs(t)
либо из системы уравнений, полученных интегрированиемуравнений (см. А.1)в интервале от t = 0 до t = ∞
ПриложениеВ (справочное)Формулы для определения некоторых показателей надежности
Таблица В.1
Формулыдля определения R(t) и MTTF невосстанавливаемых резервированных систем
Тип структуры
R(t)
MTTF
1из n
(общая формула)
1из n
1-(1-р)n
(n — 1) из n
npn-1-(n-1)pn
2из 3
Зр2-2р3
2из 4
6р2-8р3+ 3р4
3из 5
10р3-15р4+ 6р5
r из n
1из n
(n — 1) элементов резервировано
(идеальный переключатель)
r из n
(n — r) элементоврезервировано
(идеальный переключатель)
—
Р = е-λt
Таблица В.2
Приближенныеформулы для определения интенсивности отказов восстанавливаемых параллельныхсистем
Тип структуры
Тип резервирования
Средняя интенсивность отказов
1из n (общаяформула)
а
(n — 1) из n
(идентичные элементы)
а
(n — 1) из n
а
1из 2
а
1из 3
а
2 из 3
а
1из 2
а
(n — 1) из n
s
Примечания:
1 Обозначения типа резервирования:
а -нагруженный резерв;
s -ненагруженный резерв,
2 Предположения:
1) ремонтных рабочих столько, сколько необходимо;
2) идеальный переключатель;
3) λμ < < 1.
Ключевыеслова: риск,менеджмент риска, анализ надежности, показатели надежности, вероятностьбезотказной работы, коэффициент готовности, интенсивность отказов,интенсивность восстановлений.
Услуги по монтажу отопления водоснабжения
ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ 8(495)744-67-74
Кроме быстрого и качественного ремонта труб отопления, оказываем профессиональный монтаж систем отопления под ключ. На нашей странице по тематике отопления > resant.ru/otoplenie-doma.html < можно посмотреть и ознакомиться с примерами наших работ. Но более точно, по стоимости работ и оборудования лучше уточнить у инженера.
Для связи используйте контактный телефон ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ 8(495) 744-67-74, на который можно звонить круглосуточно.
Отопление от ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ Вид: водяное тут > /otoplenie-dachi.html
Обратите внимание
Наша компания ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ входит в состав некоммерческой организации АНО МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ КОЛЛЕГИЯ СУДЕБНЫХ ЭКСПЕРТОВ. Мы так же оказываем услуги по независимой строительной технической экспертизе.